Bài tập 6, § 1

Một tập con $L$ của $\mathbf{R}^n$ là một đường gãy nếu tồn tại một dãy hữu hạn $(x_i)_{0 \leq i \leq p}$ các điểm của $\mathbf{R}^n$ sao cho, nếu $S_i$ là đoạn có các đầu mút $x_{i-1}$ và $x_i$ ($1 \leq i \leq p$), thì $L$ là hợp của các $S_i$, được gọi là các cạnh của $L$. (Nói chung có một số vô hạn các dãy hữu hạn các điểm của $\mathbf{R}^n$ định nghĩa cùng một đường gãy.) Một đường gãy cũng là ảnh của một ánh xạ $u$ từ $[0, 1]$ vào $\mathbf{R}^n$ sao cho tồn tại một dãy tăng ngặt $(t_j)_{0 \leq j \leq q}$ trong $[0, 1]$ với $t_0 = 0$ và $t_q = 1$, có tính chất rằng $u$ là một ánh xạ tuyến tính affine

(một ánh xạ $u$ như vậy được gọi là "*tuyến tính từng đoạn*"). Cho một tập con khác rỗng $A$ của $\mathbf{R}^n$, ta nói rằng hai điểm $a, b$ của $A$ có thể được nối bằng một đường gãy trong $A$ nếu tồn tại một đường gãy $L \subset A$ được định nghĩa bởi một dãy $(x_i)_{0 \leq i \leq p}$ sao cho $x_0 = a$ và $x_p = b$. Nếu mọi hai điểm của $A$ đều có thể được nối bằng một đường gãy trong $A$, thì $A$ là liên thông. Ngược lại, nếu $A$ là một tập con mở liên thông của $\mathbf{R}^n$, hãy chứng minh rằng mọi hai điểm của $A$ có thể được nối bằng một đường gãy trong $A$ (xét quan hệ "*$x$ và $y$ có thể được nối bằng một đường gãy trong $A$*" giữa các điểm $x, y$ của $A$; chứng minh rằng đây là một quan hệ tương đương mà các lớp của nó là các tập mở); ta thậm chí luôn có thể giả sử rằng đường gãy này là hợp của các đoạn mà mỗi đoạn song song với một trục tọa độ (cùng phương pháp). Suy ra rằng, nếu $A$ là một tập mở khác rỗng trong $\mathbf{R}^n$, thành phần của một điểm $a \in A$ là tập hợp tất cả các điểm của $A$ có thể được nối với $a$ bằng một đường gãy trong $A$.