Exercice 9, § 1

On dit qu’une ligne brisée $L$ dans $\mathbf{R}^n$ ($n > 1$) (exerc. 6) est simple si elle est homéomorphe à l’intervalle $I = (0, 1)$ de $\mathbf{R}$. Il est équivalent de dire qu’il existe un homéomorphisme $u$ de $I$ sur $L$, linéaire par morceaux (exerc. 6). Montrer que, dans $\mathbf{R}^2$, si $A$ est un ensemble ouvert connexe et $L \subset A$ une ligne brisée simple, $A - L$ est connexe (raisonner par récurrence sur le nombre de segments dont $L$ est la réunion, en utilisant I, p. 116, exerc. 6).