Exercice 14, § 2

Topologie générale, VI, p. 25

Soient $x_1, \ldots, x_n$ des points en nombre fini dans un espace euclidien $\mathbf{R}^m$ . On pose

s = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k, \qquad r^2 = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \|x_k\|^2 \quad (r \geqslant 0)

et l’on a $\|s\| \leqslant r$ .

a) Montrer que pour tout indice k, on a

\|x_k - s\| \leqslant ((n-1)(r^2 - \|s\|^2))^{1/2}

(observer que l’on a $\sum_{k=1}^n \|x_k - s\|^2 = n(r^2 - \|s\|^2)$ et ordonner les $\|x_k - s\|$ par ordre croissant).

b) Montrer que l’on a $\sum_{j < i} \|x_i - x_j\|^2 = n \sum_{k=1}^n \|x_k - s\|^2$ . En déduire que l’on a

\sup_{i < j} \|x_i - x_j\| \leqslant (2n(r^2 - \|s\|^2))^{1/2}.

(Numéroter les $x_k$ de sorte que la plus grande valeur M des $\|x_i - x_j\|$ soit $\|x_{n-1} - x_n\|$ . Poser $t_k = (2x_k - x_{n-1} - x_n)/M$ , et calculer la somme

\sum_{k=1}^{n-2} \|t_k - t_{n-1}\|^2 + \sum_{k=1}^{n-1} \|t_k - t_n\|^2

en observant que $t_{n-1} + t_n = 0$ .)

Solution

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