Bài tập 14, § 2

Tô pô đại cương, VI, p. 25

Cho $x_1, \ldots, x_n$ là một số hữu hạn các điểm trong một không gian Euclid $\mathbf{R}^m$ . Đặt

s = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n x_k, \qquad r^2 = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \|x_k\|^2 \quad (r \geqslant 0)

và ta có $\|s\| \leqslant r$ .

a) Bây giờ chứng minh rằng với mọi chỉ số k, ta có

\|x_k - s\| \leqslant ((n-1)(r^2 - \|s\|^2))^{1/2}

(nhận thấy rằng ta có $\sum_{k=1}^n \|x_k - s\|^2 = n(r^2 - \|s\|^2)$ và sắp xếp các $\|x_k - s\|$ theo thứ tự tăng).

b) Bây giờ chứng minh rằng ta có $\sum_{j < i} \|x_i - x_j\|^2 = n \sum_{k=1}^n \|x_k - s\|^2$ . Suy ra rằng ta có

\sup_{i < j} \|x_i - x_j\| \leqslant (2n(r^2 - \|s\|^2))^{1/2}.

(Đánh số các $x_k$ sao cho giá trị lớn nhất M của các $\|x_i - x_j\|$ là $\|x_{n-1} - x_n\|$ . Đặt $t_k = (2x_k - x_{n-1} - x_n)/M$ , và tính tổng

\sum_{k=1}^{n-2} \|t_k - t_{n-1}\|^2 + \sum_{k=1}^{n-1} \|t_k - t_n\|^2

bằng cách nhận thấy rằng $t_{n-1} + t_n = 0$ .)

Lời giải

Chưa có lời giải nào được viết.