Exercice 4, § 2

Montrer qu’il n’existe aucun homéomorphisme de $S_1$ dans $\mathbf{R}$ (remarquer que le complémentaire d’un point quelconque de $S_1$ par rapport à $S_1$ est connexe, et que toute partie connexe de $\mathbf{R}$ est un intervalle).

En déduire que tout homéomorphisme de $S_1$ sur un sous-espace de $S_1$ est nécessairement un homéomorphisme de $S_1$ sur $S_1$ (utiliser la prop. 4 de VI, p. 11).