Exercice 9, § 2

Soit $E$ un espace topologique contenant plus d’un point. Montrer qu’il existe une application continue $f$ de $S_1$ dans $F = E \times S_1$, telle que $f(S_1) \neq F$, et qui ne se laisse pas prolonger en une application continue de $\mathbf{B}_2$ dans $F$ (utiliser l’exerc. 8). En déduire que, pour $n > 1$, $S_n, \mathbf{R}^n$ et $\mathbf{B}_n$ ne sont homéomorphes à aucun espace de la forme $E \times S_1$, $E$ étant un espace topologique quelconque (voir VI, p. 23, exerc. 3). En particulier, pour $n > 1$, $S_n$ n’est pas homéomorphe à $(S_1)^n$, et quel que soit $n$, $\mathbf{B}_n$ n’est pas homéomorphe à $(S_1)^n$.

Montrer de même que $\mathbf{R}^2$ n’est pas homéomorphe au complémentaire d’un point dans $\mathbf{R}^2$, et que $S_2$ n’est pas homéomorphe à $\mathbf{B}_2$ (dans le cas contraire, $\mathbf{R}^2$ serait homéomorphe au produit de $S_1$ et de l’intervalle $]0, 1]$).