Bài tập 9, § 2

Cho E là một không gian tôpô chứa nhiều hơn một điểm. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ liên tục $f$ của $S_1$ vào $F = E \times S_1$ sao cho $f(S_1) \neq F$ và không thể mở rộng thành một ánh xạ liên tục của $B_2$ vào $F$ (dùng Bài tập 8). Suy ra rằng, nếu $n > 1$, $S_n, \mathbf{R}^n$ và $B_n$ không đồng phôi với bất kỳ không gian nào có dạng $E \times S_1$, trong đó E là một không gian tôpô bất kỳ (xem Bài tập 3). Đặc biệt, nếu $n > 1$, $S_n$ không đồng phôi với $S_1^n$, và với mọi $n$, $B_n$ không đồng phôi với $S_1^n$.

Chứng minh tương tự rằng $\mathbf{R}^2$ không đồng phôi với phần bù của một điểm trong $\mathbf{R}^2$, và rằng $S_2$ không đồng phôi với $B_2$ (nếu sai, $\mathbf{R}^2$ sẽ đồng phôi với tích của $S_1$ và khoảng ]0, 1]).