Exercice 1, § 3

Topologie générale, VI, p. 25

On considère l’application $f$ de $S_2$ dans $\mathbf{R}^4$ qui à tout point $x = (x_1, x_2, x_3)$ de $S_2$ fait correspondre le point $y = (y_1, y_2, y_3, y_4)$ de $\mathbf{R}^4$ tel que

y_1 = x_1^2 - x_2^2, \qquad y_2 = x_1 x_2, \qquad y_3 = x_1 x_3, \qquad y_4 = x_2 x_3.

Cette fonction a la même valeur en deux points opposés de $S_2$ ; montrer que, par passage au quotient, elle donne un homéomorphisme de $P_2$ sur un sous-espace de $\mathbf{R}^4$ .

Montrer de même que l’application $g$ de $S_3$ dans $\mathbf{R}^6$ qui, à $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ fait correspondre le point $(y_j)_{1 \leq j \leq 6}$ tel que

\begin{align*} y_1 &= x_1^2 - x_2^2, & y_2 &= x_1 x_2, & y_3 &= x_1 x_3 + x_2 x_4 \\ y_4 &= x_3^2 - x_4^2, & y_5 &= x_3 x_4, & y_6 &= x_1 x_4 - x_2 x_3 \end{align*}

définit, par passage au quotient, un homéomorphisme de

P_3

sur un sous-espace de

\mathbf{R}^6

Solution

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