Exercice 10, § 3

Dans l’espace projectif $P_n$, soit $H_{n,p}$ la « quadrique » définie par l’équation

Montrer que $H_{n,1}$ et $H_{1,n}$ sont homéomorphes à $S_{n-1}$; pour $2 \leq p \leq n-1$, $H_{n,p}$ est homéomorphe à l’espace obtenu en identifiant tout point du produit $S_{p-1} \times S_{n-p}$ (considéré comme sous-espace de $\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^{n-p+1}$) à son opposé. Tout point de $H_{n,p}$ a un voisinage ouvert homéomorphe à $\mathbf{R}^{n-1}$.

Montrer que $H_{3,2}$ est homéomorphe à $S_1 \times S_1$ (identifier $S_1 \times S_1$ à $T \times T$, un couple de points opposés de $S_1 \times S_1$ étant identifié au couple des points $(u, v)$ et $(\frac{1}{2} + u, \frac{1}{2} + v)$ de $T \times T$; puis considérer l’application $(u, v) \mapsto (u + v, u - v)$ de $T \times T$ dans lui-même).