Bài tập 10, § 3

Trong một không gian xạ ảnh $\mathbf{P}_n$, cho $H_{n,p}$ là "mặt bậc hai" được xác định bởi phương trình

Chứng minh rằng $H_{n,1}$ và $H_{n,n}$ đồng phôi với $S_{n-1}$. Nếu $2 \leq p \leq n-1$, $H_{n,p}$ đồng phôi với không gian thu được bằng cách đồng nhất mọi điểm của tích $S_{p-1} \times S_{n-p}$ (được xem như một không gian con của $\mathbf{R}^p \times \mathbf{R}^{n-p+1}$) với điểm đối diện qua tâm của nó. Mọi điểm của $H_{n,p}$ có một lân cận mở đồng phôi với $\mathbf{R}^{n-1}$.

Chứng minh rằng $H_{3,2}$ đồng phôi với $S_1 \times S_1$ [đồng nhất $S_1 \times S_1$ với $T \times T$, một cặp điểm đối diện qua tâm của $S_1 \times S_1$ được đồng nhất với một cặp điểm $(u, v)$ và $(1/2 + u, 1/2 + v)$ của $T \times T$; sau đó xét ánh xạ $(u, v) \to (u + v, u - v)$ của $T \times T$ vào chính nó].

II) Trong một không gian xạ ảnh $P_n$, cho $C_{n,p}$ là "nón bậc hai" được xác định bởi phương trình

Chứng minh rằng phần bù của $\{0\}$ trong $C_{n,p}$ đồng phôi với $\mathbf{R} \times H_{n-1,p}$, với ký hiệu của Bài tập 10.