Exercice 5, § 3

Lorsqu’on considère $\mathbf{R}^2$ comme plongé dans $\tilde{\mathbf{R}} \times \tilde{\mathbf{R}}$, et $\mathbf{R}$ comme plongé dans $\tilde{\mathbf{R}}$, montrer que l’application $(x, y) \mapsto x + y$ de $\mathbf{R}^2$ dans $\mathbf{R}$ peut être prolongée par continuité aux points $(\infty, a)$ et $(a, \infty)$ de $\tilde{\mathbf{R}} \times \tilde{\mathbf{R}}$, pour toutes les valeurs finies de $a$; elle ne peut être prolongée par continuité au point $(\infty, \infty)$. Si on considère $\mathbf{R}^2$ comme plongé dans $P_2$ ($\mathbf{R}$ étant toujours plongé dans $\tilde{\mathbf{R}}$), $x + y$ peut être prolongée par continuité en tous les points de la droite à l’infini distincts du point de coordonnées homogènes $(1, -1, 0)$. Énoncer et démontrer les propriétés analogues relatives au produit $xy$.