Bài tập 5, § 3

Nếu xem xét $\mathbf{R}^2$ như được nhúng trong $\tilde{\mathbf{R}} \times \tilde{\mathbf{R}}$, và $\mathbf{R}$ như được nhúng trong $\tilde{\mathbf{R}}$, hãy chứng minh rằng ánh xạ $(x, y) \to x + y$ của $\mathbf{R}^2$ vào $\mathbf{R}$ có thể được mở rộng bằng tính liên tục tới các điểm $(\infty, a)$ và $(a, \infty)$ của $\tilde{\mathbf{R}} \times \tilde{\mathbf{R}}$ với mọi giá trị hữu hạn của $a$, nhưng không thể được mở rộng bằng tính liên tục tới $(\infty, \infty)$. Nếu xem xét $\mathbf{R}^2$ như được nhúng trong $\mathbf{P}_2$ ($\mathbf{R}$ vẫn được xem như được nhúng trong $\tilde{\mathbf{R}}$), $x + y$ có thể được mở rộng bằng tính liên tục tới mọi điểm của đường thẳng ở vô hạn ngoại trừ điểm có tọa độ thuần nhất $(1, -1, 0)$.

Hãy phát biểu và chứng minh các kết quả tương tự cho tích $xy$.