Exercice 6, § 3

Pour $n \geq 0$, soit $\mathscr{F}$ l’ensemble des ensembles fermés de $P_n$, muni de la structure uniforme déduite de celle de $P_n$ par le procédé de II, p. 35, exerc. 6 b). Montrer que, dans $\mathscr{F}$, l’ensemble $P_{n,p}$ des variétés linéaires projectives à $p \geq 0$ dimensions de $P_n$ est fermé, et que la topologie induite sur $P_{n,p}$ par celle de $\mathscr{F}$ est identique à celle définie dans VI. (Pour définir les entourages de la structure uniforme de $P_n$, on pourra considérer $P_n$ comme espace quotient de $S_n$ (VI, p. 13, prop. 2), et prendre des recouvrements finis de $S_n$ par des boules de rayon tendant vers 0.)