Exercice 17, § 1

Soit $E$ le produit $(\mathbf{Q}_p)^n$ de $n$ facteurs identiques au corps $\mathbf{Q}_p$ des nombres $p$-adiques (III, p. 84, exerc. 23), muni de la structure de groupe topologique produit des structures de groupe additif topologique de ses facteurs, et de sa structure d’espace vectoriel de dimension $n$ sur le corps $\mathbf{Q}_p$. Si $v_p$ désigne la valuation $p$-adique additive sur $\mathbf{Q}_p$, on pose $|x|_p = p^{-v_p(x)}$ pour tout $x \in \mathbf{Q}_p$ et $\neq 0$, $|0|_p = 0$; pour tout $\mathbf{x} = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$ dans $E$, on pose $||\mathbf{x}|| = \sup_i |x_i|_p$ (cf. IX, § 3, nos 2 et 3).

a) Pour qu’une partie A de E soit relativement compacte, il faut et il suffit que $\sup_{x \in A} \|x\| < +\infty$. (Remarquer que $v_p$ est une application continue de $\mathbf{Q}_p$ dans $\mathbf{Z}$ muni de la topologie discrète.)

b) Si G est un sous-groupe fermé de E, G est un module topologique sur l’anneau $\mathbf{Z}_p$ des entiers $p$-adiques (si $x \in G$, on a $nx \in G$ pour tout $n \in \mathbf{Z}$, et $\mathbf{Z}$ est dense dans $\mathbf{Z}_p$).

c) Si K est un sous-groupe compact de E, il existe un système libre de $m \leq n$ points $a_i$ ($1 \leq i \leq m$) de E, tel que K soit somme directe des m groupes $\mathbf{Z}_p . a_i$. (Utiliser a) pour montrer que, si $(e_j)_{1 \leq j \leq n}$ est la base canonique de E, il y a un entier $k \in \mathbf{Z}$ tel que K soit contenu dans la somme directe des n groupes $\mathbf{Z}_p . p^k e_j$; puis appliquer la théorie des modules sur un anneau principal (A, VII, § 4, n° 2).)

d) Si G est un sous-groupe fermé non compact de E, G contient un sous-espace vectoriel de dimension 1, $\mathbf{Q}_p . a$ avec $a \neq 0$. (Soit C la partie compacte de E formée des points x tels que $\|x\| = 1$; montrer que $G \cap C$ contient une suite de points $(x_r)_{r \in \mathbf{N}}$ telle que $p^{-r} x_r \in G$, et prendre pour a une valeur d’adhérence de cette suite).

e) Soient G un sous-groupe fermé de E, V le plus grand sous-espace vectoriel contenu dans G, W un sous-espace supplémentaire de V; montrer que $W \cap G$ est compact et que G est somme directe de V et de $W \cap G$ (raisonner comme dans le th. 2 de VII, p. 5).

f) Étant donné un sous-groupe G de E, on désigne par $G^*$ l’ensemble des points $u = (u_i)$ de E tels que $(u | x) = \sum_{i=1}^n u_i x_i$ appartienne à $\mathbf{Z}_p$ pour tout $x = (x_i) \in G$. Montrer que $G^*$ est fermé dans E, que $(\overline{G})^* = G^*$ et que $(G^*)^* = \overline{G}$.

g) Énoncer et démontrer les analogues des exerc. 2 à 8 pour les sous-groupes fermés de E. En particulier, tout sous-groupe fermé et tout groupe quotient séparé d’un groupe de la forme $(\mathbf{Q}_p)^r \times (\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)^s \times (\mathbf{Z}_p)^t \times F$ (où F est produit d’un nombre fini de groupes cycliques dont l’ordre est une puissance de p) est un groupe de la même forme.