Bài tập 17, § 1

Cho $E$ là tích $(\mathbf{Q}_p)^n$ của $n$ nhân tử đồng nhất với trường $\mathbf{Q}_p$ các số $p$-adic (III, p. 84, exerc. 23), được trang bị cấu trúc nhóm tôpô tích của các cấu trúc nhóm cộng tính tôpô của các nhân tử của nó, và với cấu trúc không gian vectơ có chiều $n$ trên trường $\mathbf{Q}_p$. Nếu $v_p$ ký hiệu định giá cộng tính $p$-adic trên $\mathbf{Q}_p$, ta đặt $|x|_p = p^{-v_p(x)}$ với mọi $x \in \mathbf{Q}_p$ và $\neq 0$, $|0|_p = 0$; với mọi $\mathbf{x} = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$ trong $E$, ta đặt $||\mathbf{x}|| = \sup_i |x_i|_p$ (xem IX, § 3, nos 2 và 3).

a) Để một tập con A của E là tương đối compact, điều kiện cần và đủ là $\sup_{x \in A} \|x\| < +\infty$. (Nhận xét rằng $v_p$ là một ánh xạ liên tục từ $\mathbf{Q}_p$ vào $\mathbf{Z}$ được trang bị tôpô rời rạc.)

b) Nếu G là một nhóm con đóng của E, thì G là một môđun tôpô trên vành $\mathbf{Z}_p$ các số nguyên $p$-adic (nếu $x \in G$, ta có $nx \in G$ với mọi $n \in \mathbf{Z}$, và $\mathbf{Z}$ là trù mật trong $\mathbf{Z}_p$).

c) Nếu K là một nhóm con compact của E, tồn tại một hệ tự do gồm $m \leq n$ điểm $a_i$ ($1 \leq i \leq m$) của E, sao cho K là tổng trực tiếp của m nhóm $\mathbf{Z}_p . a_i$. (Dùng a) để chứng minh rằng, nếu $(e_j)_{1 \leq j \leq n}$ là cơ sở chính tắc của E, tồn tại một số nguyên $k \in \mathbf{Z}$ sao cho K được chứa trong tổng trực tiếp của n nhóm $\mathbf{Z}_p . p^k e_j$; sau đó áp dụng lý thuyết các môđun trên một miền iđêan chính (A, VII, § 4, no 2).)

d) Nếu G là một nhóm con đóng không compact của E, G chứa một không gian con vectơ có chiều 1, $\mathbf{Q}_p . a$ với $a \neq 0$. (Gọi C là tập con compact của E tạo bởi các điểm x sao cho $\|x\| = 1$; bây giờ chứng minh rằng $G \cap C$ chứa một dãy các điểm $(x_r)_{r \in \mathbf{N}}$ sao cho $p^{-r} x_r \in G$, và lấy a là một giá trị tụ của dãy này).

e) Cho G là một nhóm con đóng của E, V là không gian con vectơ lớn nhất được chứa trong G, W là một không gian con bù của V; bây giờ chứng minh rằng $W \cap G$ là compact và G là tổng trực tiếp của V và $W \cap G$ (lập luận như trong th. 2 của VII, p. 5).

f) Cho một nhóm con G của E, người ta ký hiệu $G^*$ là tập hợp các điểm $u = (u_i)$ của E sao cho $(u | x) = \sum_{i=1}^n u_i x_i$ thuộc $\mathbf{Z}_p$ với mọi $x = (x_i) \in G$. Bây giờ chứng minh rằng $G^*$ là đóng trong E, rằng $(\overline{G})^* = G^*$ và rằng $(G^*)^* = \overline{G}$.

g) Phát biểu và bài tập chứng minh các tương tự của exerc. 2 đến 8 đối với các nhóm con đóng của E. Đặc biệt, mọi nhóm con đóng và mọi nhóm thương tách được của một nhóm có dạng $(\mathbf{Q}_p)^r \times (\mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)^s \times (\mathbf{Z}_p)^t \times F$ (trong đó F là tích của một số hữu hạn các nhóm cyclic có cấp là một lũy thừa của p) đều là một nhóm cùng dạng.