Exercice 18, § 1

Soient $\alpha$ un nombre irrationnel, F un ensemble fini de nombres réels non entiers. Pour tout entier $m > 0$, on pose $(m\alpha) = m\alpha - [m\alpha]$. Prouver qu’il existe une infinité d’entiers $m > 0$ tels que $[(m\alpha) + r] = [r]$ pour tout $r \in F$, et une infinité d’entiers $m > 0$ tels que $[(m\alpha) + r] = [r] + 1$ pour tout $r \in F$.