Exercice 2, § 1

Soit G un sous-groupe discret de $\mathbf{R}^n$; si G est somme directe de deux sous-groupes H, K, l’intersection des sous-espaces vectoriels engendrés par H et K se réduit à 0, et le rang de G est donc égal à la somme des rangs de H et K (observer que, pour tout sous-groupe discret G de $\mathbf{R}^n$, le sous-espace vectoriel de $\mathbf{R}^n$ engendré par G est canoniquement isomorphe à $G \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{R}$).