Exercice 3, § 1

Soit G un sous-groupe discret de $\mathbf{R}^n$. Pour qu’un sous-groupe H de G soit facteur direct de G, il faut et il suffit que H soit de la forme $V \cap G$, où V est un sous-espace vectoriel (pour voir que la condition est nécessaire, utiliser l’exerc. 2; pour montrer qu’elle est suffisante, remarquer que H est aussi intersection de G et du sous-espace vectoriel engendré par H, et utiliser A, VII, § 4, n° 2, cor. du th. 1.)