Exercice 6, § 1

Soient $H$ et $K$ deux sous-groupes fermés de $\mathbf{R}^n$ tels que leur somme $G = H + K$ soit un sous-groupe fermé. a) Montrer que, si $V$ et $W$ sont les plus grands sous-espaces vectoriels contenus dans $H$ et $K$ respectivement, $V + W$ est le plus grand sous-espace vectoriel contenu dans $G$, et par suite $d(H) + d(K) = d(H \cap K) + d(H + K)$ (remarquer que le rang rationnel de $G/(V + W)$ est fini, et par suite que $G$ ne peut contenir de droite non contenue dans $V + W$). b) Soit $U$ un sous-espace supplémentaire de $V + W$, tel que $G$ soit somme directe de $V + W$ et de $M = G \cap U$, et que $H \cap K$ soit somme directe de $(V + W) \cap (H \cap K)$ et de $L = H \cap K \cap U$ (exerc. 5). Soit $H'$ (resp. $K'$) le sous-groupe de $M$ formé des composants des points de $H$ (resp. $K$) dans la décomposition de $G$ en somme directe de $V + W$ et de $M$; montrer que $M = H' + K'$, et que $H' \cap K' = L$. c) Si l’on pose $H'' = H \cap (V + W)$ et $K'' = K \cap (V + W)$, montrer que

(se ramener au cas où $V \cap W = \{0\}$; montrer qu’alors $H'' \cap K''$ est somme directe de $V \cap K''$ et de $W \cap H''$). d) Montrer qu’on a $r(H) + r(K) = r(H \cap K) + r(H + K)$ (utiliser c) et l’exerc. 4, en remarquant que $r(H) = r(H') + r(H'')$ et $r(K) = r(K') + r(K'')$).