Bài tập 6, § 1

Cho $H$ và $K$ là hai nhóm con đóng của $\mathbf{R}^n$ sao cho $H + K$ là một nhóm con đóng.

a) Chứng minh rằng, nếu $V$ (tương ứng $W$) là không gian vectơ lớn nhất được chứa trong $H$ (tương ứng $K$), thì $V + W$ là không gian vectơ lớn nhất được chứa trong $G$, và do đó $d(H) + d(K) = d(H \cap K) + d(H + K)$ [chú ý rằng hạng hữu tỉ của $G/(V + W)$ là hữu hạn và do đó $G$ không thể chứa một đường thẳng không được chứa trong $V + W$].

b) Cho $U$ là một không gian con bù của $V + W$, sao cho $G$ là tổng trực tiếp của $V + W$ và $M = G \cap U$, và sao cho $H \cap K$ là tổng trực tiếp của $(V + W) \cap (H \cap K)$ và $L = H \cap K \cap U$ (Bài tập 5). Cho $H'$ (tương ứng $K'$) là nhóm con của $M$ gồm các thành phần của các điểm của $H$ (tương ứng $K$) trong phân tích của $G$ thành tổng trực tiếp của $V + W$ và $M$. Chứng minh rằng $M = H' + K'$ và rằng $H' \cap K' = L$.

c) Nếu đặt $H'' = H \cap (V + W)$ và $K'' = K \cap (V + W)$, chứng minh rằng $r(H'') + r(K'') = r(H'' \cap K'') + r(H'' + K'')$ (rút gọn về trường hợp $V \cap W = \{ o \}$, và chứng minh rằng khi đó $H'' \cap K''$ là tổng trực tiếp của $V \cap K''$ và $W \cap H''$.

d) Chứng minh rằng

[dùng c) và Bài tập 4, chú ý rằng $r(H) = r(H') + r(H'')$ và $r(K) = r(K') + r(K'')$].