Exercice 3, § 2

Tout nombre $p$-adique $x$ (exerc. 2) peut s’écrire sous la forme $\sum_{-\infty}^{+\infty} \alpha_k p^k$ où les $\alpha_k$ sont des entiers rationnels, les $\alpha_k$ d’indice $k < 0$ étant nuls sauf pour un nombre fini de valeurs de l’indice $k$. En outre, si $\sum_{-\infty}^{+\infty} \alpha_k p^k = \sum_{-\infty}^{+\infty} \beta_k p^k$ les nombres rationnels $\sum_{-\infty}^{-1} \alpha_k p^k$ et $\sum_{-\infty}^{-1} \beta_k p^k$ sont congrus mod. 1; soit $\varphi_p(x)$ la classe mod. 1 du nombre rationnel $\sum_{-\infty}^{-1} \alpha_k p^k$.

a) Montrer que $\varphi_p$ est un homomorphisme continu du groupe topologique $\mathbf{Q}_p$ dans $\mathbf{T}$, et que pour tout homomorphisme continu $f$ de $\mathbf{Q}_p$ dans $\mathbf{T}$ il existe un $a \in \mathbf{Q}_p$ et un seul tel que $f(x) = \varphi_p(ax)$ pour tout $x \in \mathbf{Q}_p$. (Remarquer que la connaissance des éléments $f(p^k)$ pour $k \leqslant 0$ détermine $f$; montrer que chacun de ces éléments est la classe mod. 1 d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de $p$; en conclure qu’il existe $a \in \mathbf{Q}_p$ tel que $f(p^k) = \varphi_p(ap^k)$ pour $k \leqslant 0$).

c) Montrer que, si $\varphi : \mathbf{R} \to \mathbf{T}$ est l’homomorphisme canonique, on a, pour $x \in \mathbf{Q}$,

la somme du second membre étant étendue à tous les nombres premiers (on observera que tous les termes de cette somme sont nuls à l’exception d’un nombre fini d’entre eux).