Bài tập 3, § 2

Mọi số $p$-adic $x$ (Bài tập 2) có thể được viết dưới dạng

trong đó các $\alpha_k$ là các số nguyên hữu tỉ, các số có chỉ số $k < 0$ bằng không với mọi trừ một số hữu hạn các giá trị của chỉ số $k$. Hơn nữa, nếu

các số hữu tỉ $\sum_{k=-\infty}^{-1} \alpha_k p^k$ và $\sum_{k=-\infty}^{-1} \beta_k p^k$ đồng dư mod 1. Gọi $\varphi_p(x)$ là lớp mod 1 của số hữu tỉ $\sum_{k=-\infty}^{-1} \alpha_k p^k$.

a) Chứng minh rằng $\varphi_p$ là một đồng cấu liên tục của nhóm tôpô $\mathbf{Q}_p$ vào $\mathbf{T}$, và rằng với mọi đồng cấu liên tục $f$ của $\mathbf{Q}_p$ vào $\mathbf{T}$ tồn tại duy nhất một $a \in \mathbf{Q}_p$ sao cho $f(x) = \varphi_p(ax)$ với mọi $x \in \mathbf{Q}_p$. [Chú ý rằng sự biết các phần tử $f(p^k)$ với $k \leq 0$ xác định duy nhất $f$; chứng minh rằng mỗi phần tử này là lớp mod 1 của một phân số có mẫu số là một lũy thừa của $p$; do đó chứng minh rằng tồn tại $a \in \mathbf{Q}_p$ sao cho $f(p^k) = \varphi_p(ap^k)$ với mọi $k \leq 0$.]

b) Chứng minh rằng, nếu $\varphi : \mathbf{R} \to \mathbf{T}$ là đồng cấu chính tắc, thì $\varphi(x) = \sum_p \varphi_p(x)$ với mọi $x \in \mathbf{Q}$, tổng được lấy trên tất cả các số nguyên tố $p$ (nhận xét rằng tất cả trừ một số hữu hạn các số hạng của tổng này sẽ bằng không).