Exercice 6, § 2

Soient $G$ un groupe topologique. $H$ un sous-groupe distingué fermé de $G$, isomorphe à $\mathbf{R}^n$ ($n \geqslant 1$) et tel que $G/H$ soit commutatif.

a) On suppose en outre que $H$ ne contient aucun sous-groupe connexe fermé distingué dans $G$ excepté $H$ lui-même et $\{e\}$, et que $H$ n’est pas dans le centre de $G$. Étant donné $x_0 \in G$ ne commutant pas avec tous les éléments de $H$, montrer que pour tout $v \in H$, il existe un élément $u \in H$ et un seul tel que $x_0^{-1} u x_0 u^{-1} = v$. (Observer qu’en notation additive dans $H$ l’équation s’écrit $u - x_0^{-1} u x_0 = -v$ et que l’endomorphisme continu $u \mapsto u - x_0^{-1} u x_0$ de $H$ est une application linéaire de $\mathbf{R}^n$ dans lui-même. Prouver que son noyau est un sous-groupe distingué dans $G$.) En outre si $f(v)$ est l’unique élément $u \in H$ tel que $x_0^{-1} u x_0 u^{-1} = v$, $f$ est un automorphisme bicontinu de $H$.

b) Sous les hypothèses de a), montrer que l’application continue $g : y \mapsto (f(x_0^{-1} y x_0 y^{-1}))^{-1} y$ de $G$ dans lui-même a pour image le sous-groupe $L$ de $G$ formé des éléments permutant avec $x_0$, et que la relation $g(y) = g(y')$ équivaut à $y{y'}^{-1} \in H$. En déduire qu’il existe une bijection continue $h : G/H \to L$ dont l’application réciproque est la restriction à $L$ de l’application canonique $p : G \to G/H$, et en conclure que $G$ est isomorphe au produit semi-direct topologique de $H$ et $L$.