Bài tập 6, § 2

Cho $G$ là một nhóm tôpô và $H$ là một nhóm con chuẩn đóng của $G$, đẳng cấu với $\mathbf{R}^n$ ($n \geqslant 1$) và sao cho $G/H$ là Abel.

a) Giả sử thêm rằng $H$ không chứa nhóm con liên thông chuẩn trong $G$ nào khác ngoài chính $H$ và $\{ e \}$, và rằng $H$ không được chứa trong tâm của $G$. Cho $x_0 \in G$ không giao hoán với mọi phần tử của $H$, hãy chứng minh rằng, với mọi $v \in H$, tồn tại duy nhất $u \in H$ sao cho $x_0^{-1} u x_0 u^{-1} = v$. (Nhận xét rằng trong ký hiệu cộng tính trong $H$, phương trình trở thành $u - x_0^{-1} u x_0 = -v$ và tự đồng cấu liên tục $u \to u - x_0^{-1} u x_0$ của $H$ là một ánh xạ tuyến tính từ $\mathbf{R}^n$ vào chính nó. Chứng minh rằng hạt nhân của nó là một nhóm con chuẩn của $G$.) Hơn nữa, nếu $f(u)$ là $u \in H$ duy nhất sao cho $x_0^{-1} u x_0 u^{-1} = v$, thì $f$ là một tự đẳng cấu song liên tục của $H$.

b) Với các giả thiết của a), hãy chứng minh rằng ánh xạ liên tục $g : y \to (f(x_0^{-1}yx_0y^{-1}))^{-1}y$ từ $G$ vào chính nó có ảnh là nhóm con $L$ của $G$ gồm tất cả các phần tử giao hoán với $x_0$ và rằng quan hệ $g(y) = g(y')$ tương đương với $y{y'}^{-1} \in H$. Suy ra rằng tồn tại một song ánh liên tục $h : G/H \to L$ mà ánh xạ ngược của nó là hạn chế của ánh xạ chính tắc $p : G \to G/H$ trên $L$, và suy ra rằng $G$ đẳng cấu với tích nửa trực tiếp tôpô của $H$ và $L$.