Exercice 7, § 2

Soient $G$ un groupe topologique, $H$ un sous-groupe distingué isomorphe à $\mathbf{R}^p \times \mathbf{T}^q$ ($p \geqslant 0, q \geqslant 0$) et supposons qu’il existe un homomorphisme continu surjectif $\varphi : \mathbf{R} \to G/H$.

Montrer qu’il existe un homomorphisme continu $f : \mathbf{R} \to G$ tel que $f(\mathbf{R}) \cap H = \{e\}$ et $G = H . f(\mathbf{R})$. (En utilisant VII, p. 24, exerc. 4 b) et V, p. 18, exerc. 8, se ramener au cas où G n’est pas commutatif, puis, en utilisant VII, p. 24, exerc. 5, au cas où $q = 0$; raisonner ensuite par récurrence sur $p$ en utilisant VII, p. 24, exerc. 6.)