Bài tập 7, § 2

Cho $G$ là một nhóm tôpô, $H$ là một nhóm con chuẩn đẳng cấu với $\mathbf{R}^p \times \mathbf{T}^q$ ($p \geq 0,\ q \geq 0$), và giả sử rằng tồn tại một đồng cấu liên tục toàn ánh $\varphi : \mathbf{R} \to G/H$. Chứng minh rằng tồn tại một đồng cấu liên tục $f : \mathbf{R} \to G$ sao cho $f(\mathbf{R}) \cap H = \{e\}$ và $G = H \cdot f(\mathbf{R})$. [Sử dụng Bài tập 4 b) và Chương V, § 3, Bài tập 8, rút gọn về trường hợp $G$ không giao hoán và sau đó, sử dụng Bài tập 5, về trường hợp $q = 0$; bây giờ dùng quy nạp theo $p$, cùng với Bài tập 6.]