a) Soit (xk)1≤k≤m une suite finie de nombres réels telle que ∣xk∣≤1 pour 1≤k≤m et ∑k=1mxk=0. Montrer qu’il existe une permutation σ de l’intervalle (1,m) de N telle que l’on ait ∑k=1pxσ(k)≤1 pour tout indice p tel que 1≤p≤m, et qui conserve l’ordre des indices h pour lesquels xh>0 et l’ordre des indices h pour lesquels xh<0 (c’est-à-dire que si h<k, xh>0 et xk>0, on a σ(h)<σ(k), et de même pour les indices tels que xh<0).
b) Soit (xk)1≤k≤m une suite finie de points xk=(xki)1≤i≤n de Rn, telle que ∥xk∥≤1 pour 1≤k≤m, et ∑k=1mxk=0. Montrer qu’il existe une permutation σ de l’intervalle (1,m) de N, telle que ∑k=1pxσ(k)≤5(n−1)/2 pour tout indice p tel que 1≤p≤m. (Raisonner par récurrence sur n, en considérant Rn comme produit Rn−1×R, et en posant xk=(xk′,xkn) avec xk′∈Rn−1. Prendre une partie H de l’intervalle (1,m) de N telle que ∑k∈Hxk soit maximum; à l’aide d’une rotation, se ramener au cas où ∑k∈Hxk′=0, et montrer que, dans ce cas, on a nécessairement xkn≥0 pour k∈H et xkn≤0 pour k∈/H; utiliser enfin a) et l’hypothèse de récurrence).
c) Soit (xk)1≤k≤m une suite finie de points de Rn telle que ∥xk∥≤1 pour 1≤k≤m et ∥∑k=1mxk∥=a>0; montrer qu’il existe une permutation σ de l’intervalle (1,m) de N telle que ∑k=1pxσ(k)≤(a+1)5(n−1)/2 pour tout p tel que 1≤p≤m (se ramener au cas b)).