Bài tập 1, § 3

a) Cho $(x_k)_{1 \leq k \leq m}$ là một dãy hữu hạn các số thực sao cho $|x_k| \leq 1$ với $1 \leq k \leq m$ và $\sum_{k=1}^m x_k = 0$. Chứng minh rằng tồn tại một phép hoán vị $\sigma$ của khoảng $[1, m]$ của $\mathbf{N}$ sao cho

với mọi $p = 1, 2, \ldots, m$, và bảo toàn cấp của các chỉ số $h$ sao cho $x_h > 0$ và cấp của các chỉ số $h$ sao cho $x_h < 0$ [nghĩa là, nếu $h < k$ và $x_h > 0$ và $x_k > 0$, thì $\sigma(h) < \sigma(k)$, và tương tự đối với các chỉ số $h$ sao cho $x_h < 0$].

b) Cho $(x_k)_{1 \leq k \leq m}$ là một dãy hữu hạn các điểm $x_k = (x_{ki})_{1 \leq i \leq n}$ của $\mathbf{R}^n$, sao cho $||x_k|| \leq 1$ với $1 \leq k \leq m$, và $\sum_{k=1}^m x_k = 0$. Chứng minh rằng tồn tại một phép hoán vị $\sigma$ của khoảng $[1, m]$ của $\mathbf{N}$ sao cho

[Chứng minh bằng quy nạp theo $n$, xét $\mathbf{R}^n$ như một tích $\mathbf{R}^{n-1} \times \mathbf{R}$, và đặt $x_k = (x'_k, x_{kn})$ với $x'_k \in \mathbf{R}^{n-1}$. Lấy một tập con $H$ của khoảng $[1, m]$ của $\mathbf{N}$ sao cho $\left\|\sum_{k \in H} x_k\right\|$ đạt cực đại; bằng một phép quay, rút gọn về trường hợp $\sum_{k \in H} x'_k = 0$ và chứng minh rằng trong trường hợp này ta phải có $x_{kn} \geq 0$ với $k \in H$ và $x_{kn} \leq 0$ với $k \notin H$; sau đó dùng a) và giả thiết quy nạp.]

c) Cho $(x_k)_{1 \leq k \leq m}$ là một dãy hữu hạn các điểm của $\mathbf{R}^n$ sao cho $\|x_k\| \leq 1$ với $1 \leq k \leq m$ và $\left\|\sum_{k=1}^m x_k\right\| = a > 0$. Chứng minh rằng tồn tại một phép hoán vị $\sigma$ của khoảng $[1, m]$ của $\mathbf{N}$ sao cho

với mọi $p$ sao cho $1 \leq p \leq m$ [rút gọn về trường hợp b)].