Exercice 5, § 4

Topologie générale, VIII, p. 28

La sphère $S_5$ étant considérée comme un sous-espace de $\mathbf{C}^3$ , on considère l’application de $S_5$ dans $\mathbf{R}^7$ qui à tout point $x = (x_1, x_2, x_3)$ de $S_5$ ( $x_1, x_2, x_3$ complexes), fait correspondre le point $y = (y_i)_{1 \leq i \leq 7}$ de $\mathbf{R}^7$ , tel que

\begin{align*} y_1 &= |x_1|^2 - |x_2|^2, & y_2 &= \Re(x_1 \overline{x}_2), & y_3 &= \Im(x_1 \overline{x}_2), \\ y_4 &= \Re(x_1 \overline{x}_3), & y_5 &= \Im(x_1 \overline{x}_3), & y_6 &= \Re(x_2 \overline{x}_3), & y_7 &= \Im(x_2 \overline{x}_3). \end{align*}

Cette fonction a la même valeur en deux points

x, x'

S_5

tels que

x' = \zeta x

, avec

|\zeta| = 1

; montrer que, par passage au quotient, elle donne un homéomorphisme de

P_2(\mathbf{C})

sur un sous-espace de

\mathbf{R}^7

Solution

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