Exercice 11, § 1

Soient X un espace topologique, G un groupe topologique; l’ensemble $\mathscr{C}(X; G)$ des applications continues de X dans G est un sous-groupe du groupe $G^X$. Soit $\mathscr{S}$ un ensemble de parties de X. a) On suppose que pour tout $A \in \mathscr{S}$, tout voisinage V de e dans G, et tout $u \in \mathscr{C}(X; G)$, il existe un voisinage W de e tel que $sWs^{-1} \subset V$ pour tout $s \in u(A)$. Montrer que la topologie de la $\mathscr{S}$-convergence est alors compatible avec la structure de groupe de $\mathscr{C}(X; G)$; en outre, la structure uniforme droite (resp. gauche) du groupe topologique $\mathscr{C}_\mathscr{S}(X; G)$ ainsi défini est identique à la structure uniforme de la $\mathscr{S}$-convergence lorsque G est muni de sa structure uniforme droite (resp. gauche). Cas de la convergence simple; cas de la convergence compacte lorsque G est localement compact. Cas où G est commutatif. b) Si $G = \mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$ muni de la topologie induite par celle de $\mathbf{R}^4$, montrer que la topologie de la convergence uniforme n’est pas compatible avec la structure de groupe de $\mathscr{C}(\mathbf{R}; G)$.