Bài tập 11, § 1

Cho X là một không gian tôpô và G là một nhóm tôpô. Tập hợp $\mathscr{C}(X; G)$ các ánh xạ liên tục từ X vào G là một nhóm con của nhóm $G^X$. Cho $\mathfrak{S}$ là một tập hợp các tập con của X.

a) Giả sử rằng với mỗi $A \in \mathscr{S}$, mỗi lân cận $V$ của $e$ trong $G$ và mỗi $u \in \mathscr{C}(X; G)$, tồn tại một lân cận $W$ của $e$ trong $G$ sao cho $sWs^{-1} \subset W$ với mọi $s \in u(A)$. Chứng minh rằng tôpô của sự hội tụ $\mathscr{S}$ là tương thích với cấu trúc nhóm của $\mathscr{C}(X; G)$, và rằng tính đều phải (tương ứng. tính đều trái) của nhóm tôpô $\mathscr{C}_{\mathscr{S}}(X; G)$ được định nghĩa như vậy là trùng với tính đều của sự hội tụ $\mathscr{S}$. Xét trường hợp hội tụ điểm, trường hợp hội tụ compact khi $G$ là địa phương compact, và trường hợp $G$ là Abel.

b) Nếu $G$ là nhóm $\mathbf{SL}(2, \mathbf{R})$ được trang bị tôpô cảm sinh bởi tôpô của $\mathbf{R}^4$, chứng minh rằng tôpô của sự hội tụ đều không tương thích với cấu trúc nhóm của $\mathscr{C}(\mathbf{R}; G)$.