Exercice 12, § 1

Soient X un espace topologique, A un anneau topologique (III, p. 48); l’ensemble $\mathscr{C}(X; A)$ des applications continues de X dans A est un sous-anneau de l’anneau $A^X$. Soit $\mathscr{S}$ un ensemble de parties de X. a) On suppose que pour tout $M \in \mathscr{S}$, et tout $u \in \mathscr{C}(X; A)$, l’ensemble $u(M)$ est borné (III, p. 81, exerc. 12). Montrer que la topologie de la $\mathscr{S}$-convergence est compatible avec la structure d’anneau de $\mathscr{C}(X; A)$. Cas de la convergence simple et de la convergence compacte. b) Soit X un espace localement compact non compact et dénombrable à l’infini (I, p. 68). Montrer que la topologie de la convergence uniforme n’est pas compatible avec la structure d’anneau de $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$.