Bài tập 12, § 1

Cho $X$ là một không gian tôpô và cho $A$ là một vành tôpô (Chương III, § 6, no. 3). Tập hợp $\mathscr{C}(X; A)$ các ánh xạ liên tục của $X$ vào $A$ là một vành con của vành $A^X$. Cho $\mathscr{S}$ là một tập hợp các tập con của $X$.

a) Giả sử rằng, với mỗi $M \in \mathscr{S}$ và mỗi $u \in \mathscr{C}(X; A)$, tập hợp $u(M)$ là bị chặn (Chương III, § 6, Bài tập 12). Hãy chỉ ra rằng tôpô của sự hội tụ-$\mathscr{S}$ là tương thích với cấu trúc vành của $\mathscr{C}(X; A)$. Xét trường hợp hội tụ điểm và trường hợp hội tụ compact.

b) Cho $X$ là một không gian địa phương compact $\sigma$-compact không compact (Chương I, § 9, no. 9). Hãy chỉ ra rằng tôpô của sự hội tụ đều không tương thích với cấu trúc vành của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$.