Exercice 2, § 1

Soient X un ensemble, Y un espace uniforme séparé, non vide et non réduit à un point, $\mathfrak{S}_1, \mathfrak{S}_2$ deux ensembles de parties de X satisfaisant aux conditions (F'_I) et (F'_II) de X, p. 3; montrer que si $\mathfrak{S}_1 \subset \mathfrak{S}_2$ et $\mathfrak{S}_1 \neq \mathfrak{S}_2$, la structure uniforme de la $\mathfrak{S}_1$-convergence est strictement moins fine que la structure uniforme de la $\mathfrak{S}_2$-convergence. En particulier:

1° Si X est un espace topologique séparé non compact, la structure uniforme de la convergence compacte est strictement moins fine que la structure uniforme de la convergence uniforme.

2° Si X est un espace topologique séparé dans lequel il existe des ensembles compacts infinis (cf. I, p. 105, exerc. 4), la structure uniforme de la convergence simple est strictement moins fine que la structure uniforme de la convergence compacte.