Bài tập 2, § 1

Cho $X$ là một tập hợp, cho $Y$ là một không gian đều Hausdorff chứa nhiều hơn một điểm, và cho $\mathscr{S}_1, \mathscr{S}_2$ là hai tập hợp các tập con của $X$ thỏa mãn các điều kiện $(F'_I), (F'_{II})$ của no. 2. Chứng minh rằng nếu $\mathscr{S}_1 \subset \mathscr{S}_2$ và $\mathscr{S}_1 \neq \mathscr{S}_2$, thì cấu trúc đều của sự hội tụ $\mathscr{S}_1$ là thực sự thô hơn cấu trúc đều của sự hội tụ $\mathscr{S}_2$. Đặc biệt:

(i) Nếu $X$ là một không gian tôpô Hausdorff không compact, cấu trúc đều của sự hội tụ compact là thực sự thô hơn cấu trúc đều của sự hội tụ đều.

(ii) Nếu $X$ là một không gian tôpô Hausdorff có các tập con compact vô hạn (xem Chương I, § 9, Bài tập 4), thì cấu trúc đều của sự hội tụ điểm là thực sự thô hơn cấu trúc đều của sự hội tụ compact.