Exercice 4, § 1

Montrer que, sur l’ensemble $\mathscr{C}(\mathbf{R}; \mathbf{R})$ des fonctions numériques finies continues définies dans $\mathbf{R}$, la topologie de la convergence uniforme n’est pas la même, suivant qu’on munit $\mathbf{R}$ de la structure uniforme additive, ou de la structure uniforme induite par la structure uniforme (unique) de la droite achevée $\overline{\mathbf{R}}$ (bien que les topologies déduites de ces deux structures uniformes sur $\mathbf{R}$ soient les mêmes).