Exercice 8, § 1

Soient $X, Y$ deux espaces métriques, $(f_n)$ une suite d’applications boréliennes de classe $\alpha$ de $X$ dans $Y$ (IX, p. 124, exerc. 20). a) On suppose que la suite $(f_n)$ converge simplement vers une application $f : X \to Y$. Montrer que $f$ est de classe $\alpha + 1$. (Si $U$ est une partie ouverte de $Y$, remarquer que

et utiliser l’exerc. 6 de IX, p. 119. b) On suppose que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$. Montrer que $f$ est de classe $\alpha$. (Soit $F$ une partie fermée de $Y$, et pour tout entier $n > 0$, soit $V_n$ l’ensemble des points de $Y$ dont la distance à $F$ est $\leq 1/n$. Montrer qu’il existe une suite croissante $n \mapsto m(n)$ d’entiers telle que $f^{-1}(F) = \bigcap_n f_{m(n)}^{-1}(V_n)$. c) On suppose que $Y$ est de type dénombrable. Montrer que si $f : X \to Y$ est une fonction borélienne de classe $\alpha > 0$, il existe une suite $(g_n)$ de fonctions boréliennes $g_n : X \to Y$, de classe $< \alpha$, telle que $(g_n)$ converge simplement vers $f$. (Montrer qu’on peut prendre pour $g_n$ des fonctions ne prenant qu’un nombre fini de valeurs; utiliser IX, p. 119, exerc. 6 h) et IX, p. 124, exerc. 20 c).