Bài tập 8, § 1

Cho X, Y là hai không gian mêtric và cho $(f_n)$ là một dãy các ánh xạ Borel thuộc lớp $\alpha$ từ X vào Y (Chương IX, § 6, Bài tập 16).

a) Giả sử rằng dãy $(f_n)$ hội tụ điểm tới một ánh xạ $f : X \to Y$. Chứng minh rằng $f$ thuộc lớp $\alpha + 1$. [Nếu U là một tập con mở của Y, chú ý rằng $\bar{f}^1(U) = \bigcup_{n \geq 1} \left( \bigcap_{k \geq 0} \bar{f}_{n+k}^1(U) \right)$, và sử dụng Chương IX, § 6, Bài tập 4.]

b) Giả sử rằng dãy $(f_n)$ hội tụ đều tới $f$. Chứng minh rằng $f$ thuộc lớp $\alpha$. [Cho F là một tập con đóng của Y, và với mỗi số nguyên $n > 0$, cho $V_n$ là tập hợp các điểm của Y có khoảng cách tới F là $\leq 1/n$. Chứng minh rằng tồn tại một dãy tăng $n \to m(n)$ gồm các số nguyên sao cho $\bar{f}^1(F) = \bigcap_n \bar{f}_{m(n)}^1(V_n)$.]

c) Giả sử rằng Y có kiểu đếm được. Chứng minh rằng, nếu $f : X \to Y$ là một hàm Borel thuộc lớp $\alpha > 0$, thì tồn tại một dãy các hàm Borel $g_n : X \to Y$, thuộc lớp $< \alpha$, sao cho $(g_n)$ hội tụ điểm tới $f$. [Chứng minh rằng ta có thể chọn các $g_n$ là những hàm chỉ nhận một số hữu hạn giá trị; sử dụng Bài tập 4 h) và 16 c) của Chương IX, § 6.]