Exercice 9, § 1

Soient X un espace de Baire, Y un espace métrique, $(f_n)$ une suite d’applications continues de X dans Y qui converge simplement vers f. On dit qu’un point $x \in X$ est un point de convergence uniforme pour la suite $(f_n)$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un voisinage V de x et un entier $p$ tels que pour $m \geq p$ et $n \geq p$, on ait $d(f_m(y), f_n(y)) \leq \varepsilon$ pour tout $y \in V$ ($d$ étant la distance sur Y). Montrer que le complémentaire S de l’ensemble des points de convergence uniforme est maigre dans X (cf. IX, p. 114, exerc. 20). Donner un exemple où S est dense dans X (prendre $X = Y = \mathbf{R}$; soit $n \mapsto r_n$ une bijection de $\mathbf{N}$ sur $\mathbf{Q}$; soit d’autre part $(g_n)$ une suite d’applications continues de $\mathbf{R}$ dans $[0, 1]$ qui converge vers la fonction égale à 0 pour $x \neq 0$ et à 1 au point 0, la convergence étant uniforme dans tout ensemble ouvert de $\mathbf{R}$ ne contenant pas 0. Considérer la suite de fonctions $f_n(x) = \sum_{p=0}^\infty \alpha_p g_n(x - r_p)$, la suite $(\alpha_p)$ tendant vers 0 de façon convenable).