Bài tập 9, § 1

Cho X là một không gian Baire, Y là một không gian metric và $(f_n)$ là một dãy các ánh xạ liên tục từ X vào Y hội tụ từng điểm đến một hàm $f$. Một điểm $x \in X$ được gọi là một điểm hội tụ đều của dãy $(f_n)$ nếu, với mỗi $\varepsilon > 0$, tồn tại một lân cận V của $x$ và một số nguyên $p$ sao cho $d(f_m(y), f(g_n)) \leq \varepsilon$ với mọi $y \in V$ và mọi số nguyên $m \geq p, n \geq p$, $d$ là metric trên Y. Chứng minh rằng phần bù S của tập hợp các điểm hội tụ đều của dãy $(f_n)$ là thưa trong X [xem Chương IX, § 5, Bài tập 22 a).] Cho một ví dụ trong đó S trù mật trong X. [Lấy $X = Y = \mathbf{R}$, cho $n \to r_n$ là một song ánh của $\mathbf{N}$ lên $\mathbf{Q}$, và cho $(g_n)$ là một dãy các ánh xạ liên tục từ $\mathbf{R}$ vào $[0, 1]$ hội tụ đến hàm không khi $x \neq 0$ và đến 1 tại $x = 0$, sự hội tụ là đều trong mọi tập mở của $\mathbf{R}$ không chứa 0. Khi đó xét dãy các hàm $f_n(x) = \sum_{p=0}^\infty \alpha_p g_n(x - r_p)$, trong đó dãy $(\alpha_p)$ tiến đến 0 theo một cách thích hợp.]