Exercice 16, § 2

Soient X un espace uniforme séparé, $\Gamma$ un groupe équicontinu d’homéomorphismes de X. La relation d’équivalence R définie par $\Gamma$ dans X est alors ouverte (I, p. 31).

a) Montrer que si toute orbite pour $\Gamma$ est une partie fermée de X, l’espace des orbites $X/\Gamma$ est séparé.

b) Montrer que si toute orbite pour $\Gamma$ est compacte, la relation $R$ est fermée (utiliser I, p. 35, prop. 10).

c) Donner un exemple où $X$ est compact, mais aucune orbite pour $\Gamma$ n’est fermée dans $X$ (cf. III, p. 72, exerc. 29).