Bài tập 16, § 2

Cho $X$ là một không gian đều Hausdorff và cho $\Gamma$ là một nhóm các tự đồng phôi đẳng liên tục của $X$. Quan hệ tương đương $R$ được xác định bởi $\Gamma$ trên $X$ là mở (Chương I, § 5, no. 2).

a) Chứng minh rằng nếu mọi quỹ đạo của $\Gamma$ đều đóng trong $X$, thì không gian quỹ đạo $X/\Gamma$ là Hausdorff.

b) Chứng minh rằng nếu mọi quỹ đạo của $\Gamma$ đều compact, thì quan hệ $R$ là đóng (sử dụng Chương I, § 5, no. 4, Mệnh đề 10).

c) Cho một ví dụ trong đó $X$ là compact nhưng không có quỹ đạo nào của $\Gamma$ là đóng trong $X$ (xem Chương III, § 2, Bài tập 29).