Exercice 21, § 2

Soit G un groupe d’homéomorphismes d’un espace uniforme séparé X. On suppose que G est équicontinu, et que, muni de la topologie discrète, G opère proprement dans X. On suppose en outre que l’ensemble des $x \in X$ qui ne sont invariants par aucun homéomorphisme $u \in G$ distinct de l’identité, est partout dense dans X. Dans ces conditions, montrer qu’il existe un ensemble ouvert F dans X tel que $F \cap u(F) = \varnothing$ pour tout homéomorphisme $u \in G$ distinct de l’identité, et que l’image canonique de F dans l’espace des orbites E/G soit une partie ouverte de E/G, partout dense et homéomorphe à F (utiliser X, p. 45, exerc. 16 et le th. de Zorn).