Exercice 3, § 2

Soient $X, Y, Z$ trois espaces métriques, et soit $H$ une partie de $\mathscr{C}(X \times Y; Z)$. On suppose que pour tout $x_0 \in X$, l’ensemble des $u(x_0,.)$, où $u \in H$, soit une partie équicontinue de $\mathscr{C}(Y; Z)$ et que, pour tout $y_0 \in Y$, l’ensemble des $u(.,y_0)$, où $u \in H$, soit une partie équicontinue de $\mathscr{C}(X; Z)$. Montrer que si $X$ est complet, alors, pour tout $b \in Y$, il existe dans $X$ un ensemble $S_b$ dont le complémentaire est maigre dans $X$, tel que, pour tout $a \in S_b$, l’ensemble $H$ soit équicontinu au point $(a, b)$ (appliquer l’exerc. 21 de IX, p. 115, en utilisant le cor. 1 de X, p. 12).