Bài tập 3, § 2

Cho $X, Y, Z$ là ba không gian mêtric và cho $H$ là một tập con của $\mathscr{C}(X \times Y; Z)$. Giả sử rằng, với mỗi $x_0 \in X$, tập hợp các ánh xạ $u(x_0, .)$, khi $u$ chạy qua $H$, là một tập con đồng liên tục đều của $\mathscr{C}(Y; Z)$, và rằng, với mỗi $y_0 \in Y$, tập hợp các ánh xạ $u(., y_0)$, khi $u$ chạy qua

H, là một tập con đồng liên tục đều của $\mathscr{C}(X; Z)$. Chứng minh rằng nếu X là đầy đủ, thì với mỗi $b \in Y$ tồn tại một tập hợp $S_b$ trong X mà phần bù của nó là thưa trong X và có tính chất là, với mỗi $a \in S_b$, tập hợp H là đồng liên tục đều tại $(a, b)$. (Áp dụng Chương IX, § 5, Bài tập 23, sử dụng Chương X, § 2, Mệnh đề 1, Hệ quả 1.)