Exercice 4, § 2

Soient $X, Y, Z$ trois espaces uniformes. a) Soit $H$ une partie uniformément équicontinue de $\mathscr{C}(Y; Z)$. Si on munit $H$, $\mathscr{C}(X; Y)$ et $\mathscr{C}(X; Z)$ de la structure uniforme de la convergence uniforme, montrer que l’application $(u, v) \mapsto u \circ v$ de $H \times \mathscr{C}(X; Y)$ dans $\mathscr{C}(X; Z)$ est uniformément continue. b) Soient $K$ une partie uniformément équicontinue de $\mathscr{C}(X; Y)$, $L$ une partie uniformément équicontinue de $\mathscr{C}(Y; Z)$. Montrer que l’ensemble des $v \circ u$, où $u$ parcourt $K$ et $v$ parcourt $L$, est une partie uniformément équicontinue de $\mathscr{C}(X; Z)$.