Exercice 10, § 3

Étant donnés deux espaces topologiques X, Y, pour toute partie A de X et toute partie B de Y, on désigne par $T(A, B)$ l’ensemble des applications $u \in C(X; Y)$ telles que $u(A) \subset B$.

Soit $\mathscr{U} = (U_\alpha)$ un recouvrement ouvert de X. On désigne par $\mathscr{T}_\mathscr{U}$ la topologie sur $C(X; Y)$ engendrée par les ensembles $T(F, V)$, où V parcourt l’ensemble des parties ouvertes de Y et F l’ensemble des parties fermées de X contenues dans un $U_\alpha$ au moins.

a) Montrer que $\mathscr{T}_\mathscr{U}$ est plus fine que la topologie de la convergence compacte (utiliser le cor. 1 de IX, p. 48). Si X est régulier, l’application $(u, x) \mapsto u(x)$ de $C(X; Y) \times X$ dans Y est continue lorsqu’on munit $C(X; Y)$ de la topologie $\mathscr{T}_\mathscr{U}$.

b) Soit $\mathscr{T}$ une topologie sur $C(X; Y)$ telle que l’application $(u, x) \mapsto u(x)$ de $C(X; Y) \times X$ dans Y soit continue quand on munit $C(X; Y)$ de la topologie $\mathscr{T}$. Soient $u_0$ une application continue de X dans Y, $x_0$ un point de X, V un ensemble ouvert dans Y tel que $u_0(x_0) \in V$. Montrer qu’il existe un voisinage ouvert U de $x_0$ dans X tel que $T(U, V)$ soit un voisinage de $u_0$ pour $\mathscr{T}$.

c) On suppose que X est complètement régulier. Montrer que si, parmi les topologies $\mathscr{T}$ sur $C(X; \mathbf{R})$ pour lesquelles $(u, x) \mapsto u(x)$ est continue, il en existe une $\mathscr{T}_0$ moins fine que toutes les autres, $\mathscr{T}_0$ est nécessairement la topologie de la convergence compacte. (Soit $T(U, V)$ un voisinage de 0 dans $C(X; \mathbf{R})$ pour $\mathscr{T}_0$. Soit $(W_\alpha)$ un recouvrement ouvert quelconque de $\overline{U}$, $\mathfrak{M}$ le recouvrement de X formé des $W_\alpha$ et de $\mathfrak{C} \overline{U}$. En utilisant a) et en raisonnant par l’absurde, montrer qu’il existe un nombre fini de $W_\alpha$ recouvrant $\overline{U}$).

d) Montrer que si X est complètement régulier, mais non localement compact, l’application $(u, x) \mapsto u(x)$ de $C_c(X; \mathbf{R}) \times X$ dans $\mathbf{R}$ n’est pas continue en tout point. (Considérer un point $x_0$ ne possédant aucun voisinage compact; raisonner par l’absurde, en utilisant b)).