Bài tập 10, § 3

Cho X, Y là hai không gian tôpô. Với mỗi tập con A của X và mỗi tập con B của Y, ký hiệu $T(A, B)$ là tập hợp tất cả các $u \in \mathscr{C}(X; Y)$ sao cho $u(A) \subset B$.

Cho $\mathscr{U} = (U_\alpha)$ là một phủ mở của X. Ký hiệu $\mathscr{T}_\mathscr{U}$ là tôpô trên $\mathscr{C}(X; Y)$ sinh bởi các tập hợp $T(F, V)$, trong đó V chạy qua tập hợp tất cả các tập mở của Y và F chạy qua tập hợp các tập con đóng của X được chứa trong ít nhất một $U_\alpha$.

a) Chứng minh rằng $\mathscr{T}_u$ mịn hơn tôpô compact-mở (sử dụng Định lý 3 của Chương IX, § 4, no. 3). Nếu $X$ là chính quy, ánh xạ $(u, x) \to u(x)$ của $C(X; Y) \times X$ vào $Y$ là liên tục khi $C(X, Y)$ mang tôpô $\mathscr{T}_u$.

b) Cho $\mathscr{T}$ là một tôpô trên $C(X; Y)$ sao cho ánh xạ $(u, x) \to u(x)$ của $C(X; Y) \times X$ vào $Y$ là liên tục. Cho $u_0$ là một ánh xạ liên tục từ $X$ vào $Y$, cho $x_0$ là một điểm của X và cho V là một tập mở trong Y chứa $u_0(x_0)$. Chứng minh rằng tồn tại một lân cận mở U của $x_0$ trong X sao cho $T(U, V)$ là một lân cận của $u_0$ đối với $\mathscr{T}$.

c) Giả sử rằng $X$ là hoàn toàn chính quy. Chứng minh rằng nếu, trong số các tôpô $\mathscr{T}$ trên $C(X; \mathbf{R})$ mà $(u, x) \to u(x)$ là liên tục, có một tôpô $\mathscr{T}_0$ thô hơn tất cả các tôpô khác, thì $\mathscr{T}_0$ phải là tôpô compact-mở. [Cho $T(U, V)$ là một lân cận của $o$ trong $C(X; \mathbf{R})$ đối với $\mathscr{T}_0$. Cho $(W_\alpha)$ là một phủ mở bất kỳ của $\overline{U}$; cho $\mathfrak{W}$ là phủ của X tạo bởi các tập hợp $W_\alpha$ và $C\overline{U}$. Sử dụng a) và lập luận phản chứng, chứng minh rằng một số hữu hạn các $W_\alpha$ phủ $\overline{U}$.]

d) Chứng minh rằng, nếu $X$ là hoàn toàn chính quy nhưng không địa phương compact, ánh xạ $(u, x) \to u(x)$ của $C_c(X; \mathbf{R}) \times X$ vào $\mathbf{R}$ không liên tục tại mọi điểm. [Xét một điểm $x_0$ không có lân cận compact và lập luận phản chứng, sử dụng b).]