Exercice 11, § 3

Soient X, Y deux espaces topologiques non vides dont le produit $X \times Y$ est normal. Soit $\mathscr{T}$ une topologie sur l’ensemble $C(X; \mathbf{R})$ telle que pour toute fonction numérique f continue dans $X \times Y$, l’application $y \mapsto f(., y)$ de Y dans $C(X; \mathbf{R})$ soit continue.

a) Soient $y_0$ un point, A une partie dénombrable infinie de X, fermée dans X et dont tous les points sont isolés, I un intervalle ouvert borné dans $\mathbf{R}$. Montrer que, pour la topologie $\mathscr{T}$ l’ensemble $T(A, I)$ (X, p. 49, exerc. 10) ne possède aucun point intérieur. (Si $u_0 \in T(A, I)$, former une application continue f de $X \times Y$ dans $\mathbf{R}$ qui soit telle $f(., y_0) = u_0$ et que pour tout $z_n$, on ait $f(., z_n) \notin T(A, I)$).

b) En déduire que si en outre, pour la topologie $\mathscr{T}$, l’application $(u, x) \mapsto u(x)$ de $C(X; \mathbf{R}) \times X$ dans $\mathbf{R}$ est continue, si X est localement paracompact (IX, p. 111, exerc. 36), et s’il existe dans X une suite $(x_n)$ de points qui converge vers un point distinct des $x_n$, alors X est nécessairement localement compact (utiliser l’exerc. 10 b), ainsi que IX, p. 110, exerc. 35 c)).

c) Conclure de b) que si X est métrisable et non localement compact, il existe des points de $C_c(X; \mathbf{R})$ qui n’admettent pas de système fondamental dénombrable de voisinages (utiliser X, p. 49, exerc. 9 a)). Donner de ce fait une démonstration directe utilisant X, p. 48, exerc. 5 a).