Bài tập 11, § 3

Cho $X, Y$ là hai không gian tôpô khác rỗng mà tích $X \times Y$ là chuẩn tắc. Cho $\mathscr{T}$ là một tôpô trên tập $C(X; \mathbf{R})$ sao cho, đối với mọi hàm liên tục nhận giá trị thực $f$ trên $X \times Y$, ánh xạ $y \to f(., y)$ của $Y$ vào $C(X; \mathbf{R})$ là liên tục.

a) Cho $y_0$ là giới hạn của một dãy $(z_n)$ các điểm của $Y$ đôi một phân biệt với $y_0$, cho $A$ là một tập con đóng đếm được vô hạn của $X$, mọi điểm của nó đều cô lập, và cho $I$ là một khoảng mở bị chặn trong $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng, đối với tôpô $\mathscr{T}$, tập $T(A, I)$ (Bài tập 10) không có điểm trong. [Nếu $u_0 \in T(A, I)$, xây dựng một ánh xạ liên tục $f : X \times Y \to \mathbf{R}$ sao cho $f(., y_0) = u_0$ và $f(., z_n) \notin T(A, I)$ với mọi $z_n \neq y_0$.]

b) Từ đó chứng minh rằng nếu, ngoài ra, ánh xạ $(u, x) \to u(x)$ của $C(X; \mathbf{R}) \times X$ vào $\mathbf{R}$ là liên tục đối với tôpô $\mathscr{T}$, nếu $X$ là địa phương compact (Chương IX, § 4, Bài tập 27), và nếu tồn tại trong $X$ một dãy các điểm $(x_n)$ hội tụ đến một điểm phân biệt với mọi $x_n$, thì $X$ phải là địa phương compact [sử dụng Bài tập 10 b) và Chương IX, § 4, Bài tập 25 c)].

c) Suy ra từ b) rằng nếu $X$ là mêtric hóa được nhưng không là địa phương compact, thì có những điểm của $C_c(X; \mathbf{R})$ không có hệ cơ sở đếm được của các lân cận [sử dụng Bài tập 9 a)]. Đưa ra một chứng minh trực tiếp, sử dụng Bài tập 5 a).